.
Тогда
.
В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал
также эквивалентность условий 
и 
.
Мы переносим эти теоремы на условия вида
,
где j Î N a.
Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k
- натуральное число и
;
для того, чтобы 
, необходимо и достаточно
выполнение условия
.
В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.
В §7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку En[f]
снизу, если
.
Именно, тогда
Случай a=0 установлен С.Н.Бернштейном [3].
В §8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных
модулей непрерывности.
§1. Некоторые вспомогательные
определения.
В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2p и их
приближение тригонометрическими полиномами. Через tn(x)обозначается
тригонометрический полином порядка не выше n, а через tn*(x)=tn*(x,f)-тригонометрический
полином, наименее уклоняющийся от f среди всех tn(x).
Мы полагаем 
и пишем
Введём ряд определений.
Определение 1. При каждом фиксированном 
классом
Липшица порядка a называется множество всех непрерывных функция f,
модуль непрерывности каждой из которых удовлетворяет условию
где С8-какая-нибудь положительная постоянная, которая не
зависит от d и которая, вообще говоря, является различной для разных
функций. Этот класс обозначается Ha или Lip a.
Определение 2. Обозначим при фиксированном натуральном r через
W(r)L класс функций f, которая имеет абсолютно
непрерывные производные до (r-1) порядка и у которой r-я
производная принадлежит классу L.
Определение 3. Для непрерывной на [a,b] функции f (x)назовём
модулем непрерывности первого порядка или же просто модулем
непрерывности функцию w(d)=w(f;d), определённую на
[0, b-a] при помощи следующего равенства:
(1.1)
или, что то же самое,
(1.1’)
Свойства модуля непрерывности:
1) w(0)=0;
2) w(d) есть функция, монотонно возрастающая;
3) w(d) есть функция непрерывная;
4) w(d) есть функция полуаддитивная в том смысле,
что для любых 
и 
(1.2)
Доказательство. Свойство 1) вытекает из определения модуля
непрерывности.
Свойство 2) вытекает из того, что при больших d нам приходится
рассматривать sup на более широком множестве значений h. Свойство
4) следует из того, что если мы число 
представим в
виде h=h1 h2, 
и 
,
то получим
Из неравенства (1.2) вытекает, что если 
то 
т.е.
(1.3)
Теперь докажем свойство 3). Так как функция f (x) равномерно
непрерывна на [a,b], то 
при 
и,
следовательно, для любыхd, 
при 
а это и означает, что функция w(d) непрерывна.
Определение 4. Пусть функция f (x)определена на
сегменте [a,b]. Тогда для любого натурального k и любых 
и
h>0 таких, что 
k-й разностью функции f в
точке x с шагом h называется величина
(1.4)
а при 
и h>0 таких, что 
k-й
симметричной разностью - величина
(1.4’)
Лемма 1. При любых натуральных j и k справедливо
равенство
(1.5)
Доказательство. Действительно, так как при любом натуральном k
то
Лемма доказана.
Лемма 2. При любых натуральных k и n верна формула:
(1.6)
Доказательство. Воспользуемся индукцией по k. При k=1
тождество (1.6) проверяется непосредственно:
.
Предполагая его справедливость при k-1 (k³2), получим
Лемма доказана.
Определение 5. Если измеримая периода (b-a) функция f(x)ÎLq
(Lq-класс всех вещественных измеримых на [a,b] функции
f(x)), то под её интегральным модулем гладкости порядка k³1
понимают функцию
Лемма 3. Если 
то справедливо
(1.7)
Доказательство. В самом деле,
и так далее. Лемма доказана.
Определение 6. Если функция f(x) ограничена на [a,b],
то под её модулем гладкости порядка k³1 понимают
функцию
заданную для неотрицательных значений 
и в случае,
когда k=1, представляющую собой модуль непрерывности.
Свойства модулей гладкости:
1) 
2) 
есть функция, монотонно
возрастающая;
3) 
есть функция непрерывная;
4) При любом натуральном n имеет место ( точное)
неравенство
(1.8)
а при любом 
-неравенство
(1.8’)
5) Если функция f(x)имеет всюду на [a,b] непрерывные
производные до (r-1)-го порядка, и при этом (r-1)-я
производная 
, то
(1.9)
Доказательство. 1) Свойство 1) немедленно вытекает из того, что
2) Свойство 2) доказывается точно так же, как и для случая обычного модуля
непрерывности.
3) Предполагая для определённости, что d>d’, получим
Этим непрерывность функции wk(d) доказана.
4) Используя равенство лемму 2 §1, имеем
Этим неравенство (1.8) доказано.
Неравенство (1.8’) следует из монотонности функции wk(t)
и неравенства (1.8).
5) Используя равенства лемму 1 и лемму 3 §1, получим
Определение 7. Пусть k-натуральное число. Будем говорить, что
функция 
есть модуль непрерывности k-го
порядка функции f, если
где 
-конечная разность функции f k-го
порядка с шагом h:
Среди модулей непрерывности всех порядков особенно важное значение имеют случаи
k=1 и k=2. Случай k=1 является классическим; вместо 
мы
будем писать просто 
и называть эту функцию модулем
непрерывности; функцию 
мы будем называть модулем
гладкости.
Определение 8. Зададим натуральное число k. Будем говорить,
что функция 
-есть функция сравнения k-го
порядка, если она удовлетворяет следующим условиям:
1) 
определена для 
,
2) 
не убывает,
3) 
,
4) 
Нетрудно
показать, что если f º 0, то 
есть функция
сравнения k-го порядка (см. Лемму 5 §2).
Определение 9. Зафиксируем натуральное число k и функцию
сравнения k-го порядка 
. Будем говорить, что функция f
принадлежит к классу 
, если найдётся константа С10>0
такая, что
Вместо 
будем писать просто Hka.
Если для последовательности функций {fn} (n=1,2,...)
где С10 не зависит от n, то будем писать: 
равномерно
относительно n.
Понятие классов 
является естественным
обобщением классов Липшица и классов функций, имеющих ограниченную k-ю
производную.
Определение 10. Зафиксируем число a>0 и обозначим через p
наименьшее натуральное число, не меньше чем a (p=-[- a]).
Будем говорить, что функция 
принадлежит к классу 
,
если она
1) есть функция сравнения p-го порядка и
2) удовлетворяет условию: существует константа С11>0
такая, что для 
Условие 2) является небольшим ослаблением условия «
не
убывает». Функции класса Na будут играть основную роль во
всём дальнейшем изложении.
Определение 11. Будем говорить, что функция 
имеет
порядок 
, если найдутся две положительные
константы С12 и С13 такие, что для
всех t, для которых определены функции 
и 
,
.
При выполнении этих условий будем писать
.
Определение 12. Ядром Дирихле n-го порядка называется функция
(1.10)
Это ядро является тригонометрическим полиномом порядка n и при этом
(1.10’)
Определение 13. Ядром Фейера n-го порядка называется функция
(1.11)
Ядро Фейера Fn(t)является средним арифметическим
первых n ядер Дирихле, и значит, является тригонометрическим
полиномом порядка (n-1). Так что имеют место равенства
(1.11’)
(1.11’’)
где Dk(t)-ядра Дирихле.
Определение 14. Ядром Джексона n-го порядка называется функция
(1.12)
Свойства ядер Джексона.
а) При каждом n ядро Jn(t) является чётным
неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка 2n-2 вида
,
где jk=jk(n) - некоторые числа
б) 
в) 
г) 
Доказательство.
а) Учитывая, что для ядер Fn(t) Фейера имеют место
равенства
получим
где jk(k=1,2,...,2n-2) -некоторые числа, и
в частности, в силу ортогональности тригонометрической системы функций
найдем
Этим свойство а) доказано.
б) Это равенство следует из равенства, полученного для j0.
в) Так как 
при любом 
и 
при
(**), то
г) Совершенно аналогично случаю в) получим
Что и требовалось доказать.
Определение 15. Ядром типа Джексона порядка n называется
функция
,
(1.13)
n=1,2,3,...,k-натуральное, где
(1.13’)
Ядра типа Джексона обладают следующими свойствами:
а) 
б) При фиксированном натуральном k и произвольном n ядро Jn,k(t)
является чётным неотрицательным тригонометрическим полиномом порядка k(n-1)
в) 
n2k-1,
т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>0,
такие, что при всех n=1,2,3,... будет
г) При любом s>0 имеет место неравенство
д) При любом натуральном 
Доказательство свойств ядер типа Джексона.
а) Это свойство вытекает из равенств определения
б) Это свойство следует из 1-го неравенства определения и из того, что в
силу равенств (1.11) и (1.11‘’) будет
(1.14)
Далее
Если у вас есть аналогичные работы Реферат "Исследование наилучших приближений непрерывных
периодических функций тригонометрическими полиномами" сообщите нам об этом. Также нам будет интересны рефераты, дипломные работы по теме Реферат "Исследование наилучших приближений непрерывных
периодических функций тригонометрическими полиномами", а также курсовые работы. Присылайте их нам, помогите в учебе другим людям.
,
(*)
,
необходимо и достаточно, чтобы 
равномерно относительно n.
(fÎHk[w], если 
).
равномерно относительно n.
,
необходимо и достаточно чтобы
.
.
.
.