Число l называют индексом псевдоевклидова
(полуевклидова) пространства, в случае полуевклидова пространства число d=n-k
называют его дефектом, обозначения 
- псевдоевклидово
пространство индекса l, 
полуевклидово пространство
индекса l и дефекта d.
Определение 15. Обобщенной длиной вектора 
называется
число 
(обозн.
)
По длине ненулевые векторы разбиваются на 3 типа:
-векторы 1-го рода 
их длина положительное
действительное число.
-векторы 2-го рода 
их длина чисто мнимое
число.
-изотропные векторы 
их длина равна 0, а сам
вектор не нулевой.
Коллинеарные не нулевые векторы- векторы одного и
того же рода.
Доказательство.
.
если 
>0, то и 
>0;
если 
число чисто мнимое то и 
,
тоже число чисто мнимое (т.к.
);
если
=0, то 
=0
Определение 16. Вектор длины 1 или i называется
нормированным.
Свойство Всякий неизотропный вектор можно нормировать.
Доказательство. Пусть а-неизотропный вектор, тогда 
,
и 
длина вектора 
Определение 17. Углом между неизотропными векторами 
и
называется, такое число 
(действительное
или комплексное), которое определяется формулой.
.
Свойство. Если а и b неизотропные вектора и 
,
то 
Доказательство 
.
Определение 18. Два ненулевых вектора 
и
называются ортогональными,
если 
=0 (или 
&%239524;
).
Свойства.
10 Изотропный вектор
ортогонален сам себе (
.
20Если 
&%239524;
,
то (
)&%239524;
для 
Определение 19. Если 
- псевдоевклидово
пространство, то базис, векторы которого нормированы и попарно ортогональны,
называют ортонормированным
Базис, о котором идет речь в аксиоме А5 ,
является ортогональным. Разделим каждый из его неизотропных векторов на
его длину, получим ортонормированный базис. Следовательно, хотя бы один
ортонормированный базис существует.
Теорема 1. В любом базисе обобщенно скалярное произведение
векторов задается билинейной симметрической формой от набора координат этих
векторов.
Доказательство.
Пусть 
базис, 
, 
(А3 , А4)=
Так как 
, то получили билинейную форму
от двух наборов переменных.
Так как 
( аксиома А2), то форма
симметричная.
Определение 20. Если 
полуевклидово
пространство, то базис 
(d=n-k) называется
ортонормированным, если ортонормированна система 
, а 
-
линейно независимая система попарно ортогональных изотропных векторов.
Теорема 2. В ортонормированном базисе 
,
в котором
, 
, 
;
Скалярное произведение векторов 
, 
имеет
вид 
Если
любой базис в
(
),
то по теореме 1 скалярное произведение в этом базисе задается
симметрической билинейной формой. По свойствам симметрической билинейной формы
всякую такую форму можно привести по формулам преобразования координат к
нормальному виду 
Пусть новый базис
, тогда 
,
следовательно 
ортонормированный базис.
Итак доказана теорема. От любого базиса в 
(
)
можно преобразованием координат перейти к ортонормированному базису.
Теорема 3. Для любого ортонормированного базиса числа lи
k постоянны.
Это следует из закона инерции билинейной
симметрической формы.
Вывод 1 . В пространстве 
(
)
всегда можно выбрать базис так , что бы скалярное произведение векторов
задавалось формулой 
Вывод 2. Определение обобщенного скалярного произведения и
пространств 
(
), данные
в главах I и II, эквивалентны.
II.2.Полуевклидовы и псевдоевклидовы
точечные пространства 
(
).
Пусть 
(
) - множество
точек, 
(
) псевдоевклидово
(полуевклидово) векторное пространство.
Определение 21. Множество точек 
(
)
называют псевдоевклидовым (полуевклидовым) точечным пространством, если
определено отображение 
(или 
)
и выполняются аксиомы
В1.
0.
В2. 
(
) -n мерное
векторное псевдоевклидово(полуевклидово) пространство
индекса l (и
дефекта d).
В3.
- сюрьективное отображение.
В4.
В5. 
.
Замечание. Если
, то принято вектор а
обозначать 
.
Псевдоевклидово точечное пространство обозначается 
,полуевклидово
Так как 
(
) являются векторными
пространствами, то
(
) являются аффинными
пространствами, т.е. все аффинные свойства пространств 
(
)
сохраняются. Пространство 
и 
определяется
на одном и том же векторном пространстве Ln,
поэтому их аффинные свойства одни и те же. Например, прямой, определяемой
точкой А и вектором 
,
. Так как все
вектора 
,
, образуют
одномерное векторное подпространство в Ln,то прямую
можно определить так 
, где L1-
одномерное подпространство в Ln. Аналогично можно
определитьs-плоскости. Плоскостью ПА,Ls, определяемой точкой А
и s-мерным векторным подпространством 
, называют ПА,Ls=
.
Так как все вектора 
(
) одного рода,
то все направляющие вектора прямой одного рода, поэтому прямые тоже можно
классифицировать.
Прямая называется прямой 1-го рода , если все е
направляющие вектора 1-го рода.
Прямая называется прямой 2-го рода , если все е
направляющие вектора 2-го рода.
Прямая называется изотропной, если все е
направляющие вектора изотропные.
Из аффинных свойств пространства следует, что :
10Две различные прямые имеют
не более одной общей точки;
20Через две различные прямые
проходит прямая и только одна;
30Две пересекающиеся прямые
лежат в одной и только одной 2-плоскости и т.д.
Определение 22. Две прямые называться ортогональными, если
ортогональны их направляющие векторы. Если прямая изотропна, то любой е
направляющий вектор ортогонален сам себе и всем параллельным ему векторам.
Поэтому для изотропных прямых параллельность и перпендикулярность совпадают.
Аффинным репером называется совокупность точки и
базиса, ортонормированным репером называется совокупность точки(начала
координат) и ортонормированного базиса. Координатами вектора 
,
с координатами точек A
B
,
являются
=(
)
Определение. 23. Расстоянием между точками A
и B назовем обобщенную длину вектора 
. Если A
B
то 
. Расстояние может быть
действительным числом, нулем , и чисто мнимым числом.
Определение 24. Движением пространства 
(
)
называют такое аффинное преобразование, которое сохраняет обобщенное
расстояние между точкам
Свойства движения.
10 Тождественное
преобразование есть движение.
20 Преобразование, обратное
движению, есть движение.
30 Произведение 2-х
движений есть движение.
Следствие. Множество движений пространства 
(
)
есть группа.
40 Движение сохраняет
обобщенное скалярное произведение.
Определение 25. Сферой в пространстве 
(
)
называют множество, точек, равноудаленных от данной точки. Данная точка
называется центром сферы. Расстояние, на которое все точки удаленны от ее
центра, называют радиусом.
Если r>0, то сфера называется сферой 1
рода.
Если rчисто мнимое число, то сфера называется
сферой 2 рода.
Если r=0, то сфера называется изотропной
Обозначим S(С,r) сферу радиуса r и с центром в точке с.
Пусть R=
ортонормированный репер, С 
-центр
сферы и r (
, или 
где 
,
или r=0) –радиус сферы. Если М
, то М
S(С,r)
(по
определению).Это уравнение равносильно
, перепишем
его в координатном виде 
- получили уравнение сферы. Для
сферы первого рода r2>0, для сферы второго рода r2<0,
для изотропной сферы r2=0.
Глава III.ПСЕВДОЕВКЛИДОВО
ПРОСТРАНСТВО 
.
III.1.Псевдоевклидово пространство
(пространство Минковского)
Пусть скалярное произведение в базисе 
задано
формулой 
, где 
, 
,
тогда в репере R=
расстояние между точками будет 
,
где 
и 
. Прямые в 
могут
быть, очевидно, всех трех видов.
Любая плоскость П
, задается точкой М0
и подпространством L2= и может быть либо
евклидовой, либо псевдоевклидовой, либо полуевклидовой. Убедимся в этом.
1) Рассмотрим L2=. Если
m и n
и m=x1e1 y1e2,
n=x2e1 y2e2 , то 
,
т.е. L2-евклидово пространство и плоскость П
-евклидова.
2) Пусть L2=. Если m
и n
и m=x1e1 z1e3,
n=x2e1 z2e3 , то 
,
т.е. L2-псевдоевклидово пространство и плоскость П
-псевдоевклидова.
3)L2=. 
т.е.
, это значит что, 
в
пространстве L3. Если 
и 
,
,
то 
. Отсюда следует что, плоскость П
есть полуевклидова.
Свойства плоскостей в 
1)Любая плоскость, параллельная евклидовой, полуевклидовой или псевдоевклидовой,
является евклидовой полуевклидовой или псевдоевклидовой соответственно. Это
утверждение следует из того, что параллельные плоскости имеют одно и тоже
направляющее векторное подпространство.
2)Пересечение двух евклидовых плоскостей или евклидовой и
псевдоевклидовой, или евклидовой и полуевклидовой плоскостей может быть
либо пустое множество, либо евклидова прямая. Это следует из того, что 
=
,
но в L2 все вектора 1го рода, поэтому L1 состоит
только из векторов 1го рода, следует что L1 определяет прямые
1го рода, т.е. евклидовы прямые.
Назад | Далее
В начало реферата
Если у вас есть аналогичные работы Реферат "Псевдоевклидово пространство" сообщите нам об этом. Также нам будет интересны рефераты, дипломные работы по теме Реферат "Псевдоевклидово пространство", а также курсовые работы. Присылайте их нам, помогите в учебе другим людям.
определенно и
однозначно.
=
для 
для 
и 
для 
n линейно независимых векторов 
и
такие l и k где 
,
>0 для 
,
<0 для l
=0 для k
для 
s,q