Скачать реферат, курсовой Реферат Содержание и значение математической символики бесплатно

Этот реферат, курсовую работу на тему "Реферат "Содержание и значение математической символики"" вы может совершенно бесплатно скачать с этого портала, как и другие работы. Эти работы помогут школьнику, студенту, абитуриенту. Необходимым условием при использовании Реферат "Содержание и значение математической символики" и других рефератов с нашего порталаявляется их использование только в личных целях без коммерческой выгоды.

Российский государственный педагогический университет

им. А.И. Герцена

Курсовая работа по теме:

Содержание и значение математической символики

4 курс 4 группа

Клочанова Ольга Михайловна

Лопачев В.А.

Проверил:

Санкт-Петербург

2002

Содержание.

Введение ……………………………………………………………………………………..…1

§1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления…………..…3

§2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры…………………………………..….…6

2.1 Развитие алгебры до Ф. Виета……………………………..…………………….…6

2.1.1 Алгебра греков…………………………………………………………..…...6

2.1.2 Алгебра Диофанта……………………………………………………….…..7

2.1.3 Алгебра индусов………………………………………………………….….8

2.1.4 Алгебра арабов……………………………………………………………….9

2.1.5 Развитие алгебры в Европе……………………………………………..…..10

2.2 Символика Виета и развитие алгебры………………………………………….…..14

2.3 Символика Декарта и развитие алгебры…………………………………….……..18

§3. Обозначение производной и интеграла у Лейбница и развитие анализа………...……..22

§4. Язык кванторов и основания математической логики………………………...…………27

4.1 Алгебра высказываний…………………………………………………….……..27

4.1.3 Задания для учащихся………………………………….….……………….32

4.2 Предикаты и кванторы………………………….……………………………… ….32

4.2.1 Предикаты………………………………………….……………………….32

4.2.2 Кванторы……………………………………………...…………………….35

4.2.3 Задания для учащихся……………………………….…………………….38

§5 Методические рекомендации к теме «Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления»…………………………………….………………….39

Список литературы………………………………………………………………….…………43

Введение.

История науки показывает, что логическая структура и рост каждой математической теории, начиная с определенного этапа ее развития, становятся все в большую зависимость от исполь­зования математической символики и ее усовершенствования.

Когда индийцы в V веке н. э. ввели знак нуля, они смогли оставить поразрядную систему счисления и развить абсолютную позиционную десятичную систему счисления, превосходство ко­торой при счете если и не осознают, то повседневно используют сотни миллионов людей. Алгебра и аналитическая геометрия обязаны многим тому, что Виет и Декарт разработали основы алгебраического исчисления. Введенные Лейбницем обозначе­ния производной и интеграла помогли развить дифференциаль­ное и интегральное исчисление; задачи на вычисление площа­дей, объемов, работы силы и т. п., решение которых раньше бы­ло доступно только первоклассным математикам, стали решаться почти автоматически. Благодаря этому обозначения Лейбница получили широкое распространение и проникли во все разделы науки, где используется математический анализ.

Пример с обозначением производной и интеграла особенно ярко подтверждает правильность замечания Л. Карно, что в математике «символы не являются только записью мысли, средством ее изображения и закрепления, – нет, они воздействуют на самую мысль, они, до известной степени, направляют ее, и бывает достаточно переместить их на бумаге, согласно извест­ным очень простым правилам, для того, чтобы безошибочно до­стигнуть новых истин».

В чем заключено объективное содержание математической символики? Чем объясняется значение символики в математике?

Математические знаки служат в первую очередь для точной (однозначно определенной) записи математических понятий и предложений. Их совокупность – в реальных условиях их при­менения математиками – составляет то, что называется математическим языком.

Использование знаков позволяет формулировать законы ал­гебры, а также и других математических теорий в общем виде. Примером могут послужить формулы той же алгебры: (a b)2 = a2 2ab b2

х1,2= и т.п.

Математические знаки позволяют записывать в компакт­ной и легкообозримой форме предложения, выражение которых на обычном языке было бы крайне громоздким. Это способствует более глубокому осознанию их со­держания, облегчает его запоминание.

Математические знаки используются в математике эф­фективно и без ошибок, когда они выражают точно определенные понятия, относящиеся к объектам изучения математических тео­рий. Поэтому, прежде чем использовать в рассуждениях и в записях те или иные знаки, математик старается сказать, что каждый из них обозначает. В противном случае его могут не понять.

В связи со сказанным необходимо подчеркнуть следующее. Математики не всегда могут сказать сразу, что отражает тот или иной символ, введенный ими для развития какой-либо математи­ческой теории, средствами которой можно решать практически важные задачи. Сотни лет математики оперировали отрицатель­ными и комплексными числами и получали с их помощью перво­классные результаты. Однако объективный смысл этих чисел и действий с ними удалось раскрыть лишь в конце XVIII и в на­чале XIX века. Лейбниц ввел символы dx и dy, развил диффе­ренциальное исчисление и с помощью правил последнего пока­зал исключительную оперативную силу этих символов. Однако Лейбниц не выявил объективного смысла знаков dx и dy; это сделали математики XIX века.

Знаки и системы знаков играют в математике роль, весьма сходную с той, какая в более широких сферах познания и прак­тической деятельности людей принадлежит обычному разговор­ному языку. Подобно обычному языку, язык математических знаков позволяет обмениваться установленными математически­ми истинами, налаживать контакт ученых в совместной научной работе.

Решающим, однако, является то, что язык математичес­ких знаков без обычного языка существовать не может. Обычный (естественный) язык содержательнее языка математических знаков; он необходим для построения и развития языка математических знаков. Язык математических знаков только вспомогательное средство, присоединяемое к обыч­ному языку и используемое в математике и в областях, где при­меняются ее методы.

Возможность использования языка знаков в математике обус­ловлена особенностями предмета ее исследований – тем, что она изучает формы и отношения объектов реального мира, в извест­ных границах безразличные к их материальному содержанию. Существенна при этом и специфика математических доказа­тельств. Математическое доказательство состоит в построении цепи высказываний, начальным звеном которой являются истин­ные исходные предложения, конечным – доказываемое утверж­дение. Промежуточные звенья цепи получаются в конечном счете из начального и соединяются с ним и конечным звеном с по­мощью законов логики и правил логического вывода. Если исход­ные утверждения записаны в символической форме, то доказа­тельство сводится к их «механическим» видоизменениям.

Целесообразность, а в наше время и необходимость – ис­пользования языка знаков в математике обусловлена тем, что при его помощи можно не только кратко и ясно записывать по­нятия и предложения математических теорий, но и развивать в них исчисления и алгоритмы – самое главное для разработки ме­тодов математики и ее приложений. Достичь этого при помощи обычного языка если и возможно, то только в принципе, но не в практике.

Достаточная оперативность символики математической тео­рии существенно зависит от полноты символики. Это требование состоит в том, что символика должна содержать обозначения всехобъектов, их отношений и связей, необходимые для разработки алгоритмов теории, позволяющих решать любые задачи из клас­сов однотипных задач, рассматриваемых в этой теории.

Оперирование математическими знаками есть идеализирован­ный эксперимент: он в чистом виде описывает то, что имеет место или может быть (приближенно или точно) реализовано в дейст­вительности. Только поэтому оперирование математическими знаками способно служить открытию новых математических истин.

Решающей силой развития математической символики явля­ется не «свободная воля» математиков, а требования практики математических исследований. Именно реальные математические исследования помогают математикам в конце концов выяснить, какая система знаков наилучшим образом отображает структуру рассматриваемых количественных отношений, в силу чего может быть эффективным орудием их дальнейшего изучения.

§1. Введение нуля и развитие позиционной десятичной системы счисления.

Интуитивное представление о числе, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя с достоверностью проследить все ранние этапы его развития в принципе невозможно. Прежде чем человек научился считать или придумал слова для обозначения чисел, он, несомненно, владел наглядным, интуитивным представлением о числе, позволявшим ему различать одного человека и двух людей или двух и многих людей.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, появились, несомненно, позже, чем первые грубые символы для обозначения числа объектов в некоторой совокупности. В глубокой древности примитивные числовые записи делались в виде зарубок на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешков, причем подразумевалось, что между пересчитываемыми элементами множества и символами числовой записи существует взаимно однозначное соответствие. Но для чтения таких числовых записей названия чисел непосредственно не использовались. Ныне мы с первого взгляда распознаем совокупности из двух, трех и четырех элементов; несколько труднее распознаются на взгляд наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов. А за этой границей установить на глаз их число практически уже невозможно, и нужен анализ либо в форме счета, либо в определенном структурировании элементов. Счет на бирках, по-видимому, был первым приемом, который использовался в подобных случаях: зарубки на бирках располагались определенными группами. Очень широко был распространен счет на пальцах, и вполне возможно, что названия некоторых чисел берут свое начало именно от этого способа подсчета.

Важная особенность счета заключается в связи названий чисел с определенной схемой счета. Например, слово «двадцать три» – не просто термин, означающий вполне определенную (по числу элементов) группу объектов; это термин составной, означающий «два раза по десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как коллективной единицы или основания; и действительно, многие считают десятками, потому что, как отметил еще Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах.

Система счисления, которой мы в основном пользуемся сегодня, десятичная позиционная. Десятичная, так как ее основание 10. Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, котороеравно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию. В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа

Десятичная система характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Десятичной позиционной предшествовали другие, основанные на различных принципах, системы счисления. Так примером непозиционной системы (то есть такой системы, где количественный эквивалент каждой цифры не зависит от ее положения (места, позиции) в записи числа) может служить нумерация, используемая древними греками. Эта система относится к числу алфавитных. Первыми восемью буквами греческого алфавита (с добавлением «архаичной» буквы =вау, имевшей значение 6 обозначались числа от единицы до девяти, следующими восемью с добавлением =коппы, имевшей значение 90, - десятки от 10 до 90, следующими восемью с добавлением =сампи, означавшей 900, - сотни от 100 до 900, наконец, тысячи от 1000 до 9000 обозначались так же, как единицы, но со штрихом внизу: ,a означала 1000. Для того чтобы отличать числа от слов, над ними ставилась черточка. Так, число 1305 греки записывали ,. От греческой нумерации ведет свое происхождение древнерусская. Пример другой непозиционной системы дает употребляемая поныне римская нумерация.

Мы пользуемся ею для обозначения юбилейных дат, для нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т. д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так: I=1; V=5; X=10; L=50; С=100; D=500; M=1000.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. Точно так же знак для 1000 мог составиться из удвоения знака для 500 (или наоборот).

Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед большей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из большей. Например, VI=6, т.е. 5 1, IV=4, т.е. 5-1, XL=40, т е. 50-10, LX=60, т.е. 50 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX=70; LXXX=80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).

Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Примеры: XXVIII=28; ХХХIХ=39; CCCXCVII=397; MDCCCXVIII=1818.

Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до 13 века, а в других странах Западной Европы - до 16 века.

Древние египтяне использовали десятичную непозиционную систему счисления. Единицу обозначали одной вертикальной чертой, а для обозначения чисел, меньших 10, нужно было поставить соответствующее число вертикальных штрихов. Чтобы записанные таким образом числа было легко узнавать, вертикальные штрихи иногда объединялись в группы из трех или четырех черт. Для обозначения числа 10, основания системы, египтяне вместо десяти вертикальных черт ввели новый коллективный символ, напоминающий по своим очертаниям подкову или крокетную дужку. Множество из десяти подковообразных символов, т.е. число 100, они заменили другим новым символом, напоминающим силки; десять силков, т.е. число 1000, египтяне обозначили стилизованным изображением лотоса. Продолжая в том же духе, египтяне обозначили десять лотосов согнутым пальцем, десять согнутых пальцев – волнистой линией и десять волнистых линий – фигуркой удивленного человека. В итоге древние египтяне могли представлять числа до миллиона. Так, например, с помощью коллективных символов и повторений уже введенных символов число 6789 в иероглифических обозначениях можно было бы записать как

Самые древние из дошедших до нас математических записей высечены на камне, но наиболее важные свидетельства древнеегипетской математической деятельности запечатлены на гораздо более хрупком и недолговечном материале – папирусе. Два таких документа – папирус Ринда, или египетского писца Ахмеса (ок. 1650 до н.э.) и московский папирус, или папирус Голенищева (ок. 1850 до н.э.) – служат для нас основными источниками сведений о древнеегипетских арифметике и геометрии. В этих папирусах более древнее иероглифическое письмо уступило место скорописному иератическому письму, и это изменение сопровождалось использованием нового принципа обозначения чисел. Группа одинаковых символов заменялись более простой по начертанию пометой или знаком, например, девять записывалось как вместо , а семьсот как вместо . В этой записи число 6789 имело вид , причем знаки более высокого порядка располагались справа, а не слева.

Введение египтянами цифровых обозначений ознаменовало один из важных этапов в развитии систем счисления, так как дало возможность существенно сократить записи.

Основные недостатки непозиционных систем нумерации - трудности с изображением произвольно больших чисел и, главное, более сложный, чем в позиционных системах, процесс вычислений. (Последнее, правда, облегчалось употреблением счетных досок – абаков, так что изображение чисел было необходимо лишь для конечного результата).

Крупным шагом вперед, оказавшим колоссальное влияние на все развитие математики было создание позиционных систем счисления. Первой такой системой стала вавилонская шестидесятеричная система счисления, в которой появился знак , указывающий на отсутствие разряда, выполняющего роль нашего нуля. Концевой нуль, который позволял различать, например, обозначения для 1 и 60, у вавилонян отсутствовал. Удобство вычислений в шестидесятеричной системе сделало ее популярной у греческих астрономов. К. Птолемей (II в. н.э.) при вычислениях в шестидесятеричной системе пользуется знаком «0» для обозначения отсутствующих разрядов как в середине, так и в конце числа (0, омикрон первая буква греческого слова ovden-ничто). О вавилонской шестидесятеричной системе нам напоминает деление часа на 60 минут и минуты на 60 секунд, а также деление угла равного четырем прямым, на 360 градусов. Неудобство шестидесятеричной системы счисления в сравнении с десятичной – необходимость большого количества знаков для обозначения индивидуальных цифр (от 0 до 59), более громоздкая таблица умножения.

Создание десятичной позиционной системы счисления, одного из выдающихся достижений средневековой науки, - заслуга индийских математиков. Позиционные десятичные записи чисел встречаются в Индии с VI в. Так, в дарственной записи 595 года встречается запись числа 346 цифрами брахми º(º-3, -4, -6). Первую достоверную запись нуля в виде кружочка мы находим в изображении числа 270 в настенной записи из Гвалиора, относящейся к 876г. Иногда ноль обозначался точкой. Неясно, был ли нуль собственным изобретением индийцев; возможно, они познакомились с ним по сочинениям александрийских астрономов.

Вот какова эволюция написания индийских цифр.

§2. Символика Виета и Декарта и развитие алгебры.

2.1 Развитие алгебры до Ф. Виета.

2.1.1 Алгебра греков.

Считается, что эллины заимствовали первые сведения по геометрии у египтян, по алгебре - у вавилонян.

В древнейших египетских источниках папирусе Райнда и Московском папирусе - находим задачи на «аха» (термин «аха» означает «куча», «груда»). Имеется в виду некоторое количество, неизвестная величина, подлежащая определению) соответствующие современным линейным урав­нениям, а также квадратным вида ах2 = b. В вавилон­ских клинописных текстах имеется большое число задач, решаемых с помощью уравнений и систем первой и второй степеней, которые записаны без символов, но в специфической терминологии. В этих текстах решаются задачи, при­водящие к трехчленным квадратным уравнениям вида ах2 - bх = с или х2 - рх = q. В задачах на «аха» можно обнаружить зачатки алгебры как науки о решении урав­нений.

Но если вавилоняне за два тысячелетия до нашей эры умели числовым путем решать задачи, связанные с урав­нениями первой и второй степеней, то развитие алгебры в трудах Евклида (365 - ок. 300 гг. до н. э.), Архимеда (287-212 гг. до н. э.) и Аполлония (ок. 260-170 гг. до н. э.) носило совершенно иной характер: греки опериро­вали отрезками, площадями, объемами, а не числами. Их алгебра строилась на основе геометрии и выросла из проблем геометрии. В XIX в. совокупность приемов древних получила название геометрической алгебры.

В качестве примера геометрической алгебры греков рассмотрим решение уравнения х2 ax = b2.

Античные математики решали эту задачу построением и строили искомый отрезок так, как показано на рисунке.

На заданном отрезке АВ (равном a) строили прямоуголь­ник AM со сторонами (а х) и x, равновеликий данному квадрату (b2), таким образом, чтобы избыточная над пря­моугольником AL (равная ах) площадь ВМ была квадратом, по площади равным х2. Сторона этого квадрата и да­вала искомую величину х. Такое построение называли гиперболическим приложением площади.

Далее, полагая задачу решенной, делили АВ пополам точкой С, на отрезке LM строили прямоугольник MG, равный прямоугольнику ЕС. Тогда прямоугольник AM будет разностью квадратов DF и LF. Эта разность и квад­рат LF известны, поэтому по теореме Пифагора можно получить квадрат DF. После этого находили величину DC (равную ½a x) и DB (равную х).

Геометрическое построение в точности соответствует преобразованию, с помощью которого в современных обо­значениях решается уравнение указанного типа:

b2 = ax х2 = –

Конечно же, при таких построениях отыскивались только положительные корни уравнений: отрицательные числа появились в математике значительно позже.

С помощью геометрии древним удавалось также до­казывать многие алгебраические тождества. Но каковы эти доказательства! Они безупречны в отношении логики и слишком громоздки. Вот как формулирует Евклид тео­рему, выражающую тождество (а b)2 = a2 2аb b2. Если отрезок (ab) разделен в точке (g) на два отрезка, то квадрат, построенный на (ab), равен двум квадратам на отрезках (ag, gb) вместе с удвоенным прямоугольником на (ag, gb).

Естественно, связывая число с геометрическим образом (линией, поверхностью, телом), древние оперировали только однородными вели­чинами; так, равенство было возможно для величин оди­накового измерения.

Такое построение математики позволило античным уче­ным достигнуть существенных результатов в обоснова­нии теорем и правил алгебры, но в дальнейшем оно стало сковывать развитие науки.

Приведенные примеры могут создать ощущение, что математика древних греков примитивна. Но это не так: созданная ими математика по своему идейному содержа­нию глубока и питала идеями и методами математику вплоть до XVII в. - века научной революции; многие идеи древних получили дальнейшее развитие в новой матема­тике, созданной усилиями выдающихся умов XVI—XVII вв.

Накопленные в странах Древнего Востока знания со­стояли из набора разрозненных математических фактов, рецептур для решения некоторых конкретных задач и не могли обладать достаточной строгостью и достоверностью. Создание основ математики в том виде, к которому мы при­выкли при изучении этой науки в школе, выпало на долю греков и относится к VI—V вв. до н. э. С этого времени начала развиваться дедуктивная математика, построенная на строгих логических доказательствах.

2.1.2 Алгебра Диофанта.

Новый подъем античной математики относится к III в. н. э., он связан с творчеством великого математика Диофанта. Диофант возродил и развил числовую алгебру вавилонян, освободив ее от геометрических построений, которыми пользовались греки.

У Диофанта впервые появляется буквенная символика. Он ввел обозначения: неизвестной z, квадрата d), куба c, четвертой dd (квадратоквадрат), пятой dc (квадратокуб) и шестой степеней ее, а также первых шести отрицательных степеней, т. е. рассматривал, величины, записываемые нами в виде x6, x5, x4, x3, x2, x, x-1, x-2, x-3, x-4, x-5, x-6. Диофант применял знак равенства (символ i) и знак для обозначения вычитания.

Диофант сформулировал правила алгебраических опeраций со степенями неизвестной, соответствующие нашим умножению и делению степеней с натуральными показателями (для m n 6), и правила знаков при умножении. Это дало возможность компактно записывать многочлены, производить умножение их, оперировать с уравнениями. Он указал также правила переноса отрицательных членов уравнения в другую часть его с обратными заиками, взаимного уничтожения одинаковых членов в обеих частях уравнения.

«Арифметика» посвящена проблеме решения неопределенных уравнений. И хотя Диофант считает число собранием (а это означает, что рассматриваются только натуральные числа), при решении неопределенных урав­нений он не ограничивается натуральными числами, а отыскивает и положительные рациональные решения.

Неопределенными уравнениями до Диофанта занима­лись математики школы Пифагора в связи с пифагоровой теоремой. Они искали тройки целых положительных чи­сел, удовлетворяющих уравнению x2 y2 = z2.

Диофант поставил задачу установить разрешимость (в рациональных числах) и в случае разрешимости найти рациональные решения уравнения F (х, у) = 0, где левая часть – многочлен с целыми или рациональ­ными коэффициентами. Он исследовал неопределенные уравнения второй, третьей и четвертой степеней и системы неопределенных уравнений.

Во второй книге «Арифметики» он так исследует, на­пример, уравнение второго порядка F (х, у) = 0.

Это уравнение задает коническое сечение. Всякому рациональному решению уравнения соответствует точка кривой с рациональными координатами. Пусть a, b такие координаты, т. е. F (a, b) = 0.

Диофант делает подстановку у = b k (х – а), или y = b kt, х = а t.

ТогдаF (а t, b kt) = F (a, b) tA (а, b) ktB (а, b) t2C (a, b, k) = 0.

Но F (a, b) = 0, поэтому t = –.

Это означает, что каждому рациональному значению параметра k соответствует рациональное же значение t, а значит, рациональная точка кривой. Очевиден геометрический смысл решения: через рациональную точку кривой (a, b) проводится прямая y – b =k (x – a) и находятся вторая точка ее пересечения с кривой.

Методы Диофанта впоследствии применяли и развива­ли арабские ученые, Виет (1540—1603), Ферма, Эйлер (1707—1783), Якоби (1804—1851), Пуанкаре (1854—1912).

Оценивая творчество Диофанта, Цейтен отмечает су­щественную деталь: «Наконец, мы желаем здесь вкратце указать на важную роль, сыгранную впоследствии сочи­нениями Диофанта. Благодаря тому, что определенные уравнения первой и второй степени были облечены у него в численную оболочку они оказались гораздо более доступными для людей, не посвященных еще в культуру греческой математики; более доступными, чем те абст­рактные геометрические формы, которые принимают у Евклида уравнения второй степени и которые мы встре­чаем в сохранившихся до нас трудах других геометров для выражения уравнений первых двух степеней. Поэтому Диофант и явился главным посредником в процессе ус­воения греческой алгебры арабами, благодаря которым, в свою очередь она проникла в Европу в эпоху возрож­дения наук».

2.1.3 Алгебра индусов.

Начиная с V в. центр математической культуры пере­местился на восток - к индусам и арабам. Математика индусов резко отличалась от математики греков она была числовой. Индусы не были озабочены строгостью эллинов в доказательствах и обосновании геометрии. Они довольствовались чертежами, на которых у греков осно­вывалось доказательство, сопровождая их указанием: «Смотри!». Предполагается, что благодаря числовым выкладкам и практическому эм­пиризму индусам удалось постичь теоремы и методы греков, теоретического обоснования которых они, возможно, по-настоящему не понимали.

Основные достижения индусов состоят в том, что они ввели в обращение цифры, называемые нами арабскими, и позиционную систему записи чисел, обнаружили двойственность корней квадратного уравнения, двузначность квадратного корня и ввели отрицательные числа.

Индусы рассматривали числа безотносительно к гео­метрии. В этом их алгебра имеет сходство с алгеброй Дио­фанта. Они распространили правила действия над рацио­нальными числами на числа иррациональные, производя над ними непосредственные выкладки, а не прибегая к построениям, как это делали греки. Например, им было известно, что

Далее

Если у вас есть аналогичные работы Реферат "Содержание и значение математической символики" сообщите нам об этом. Также нам будет интересны рефераты, дипломные работы по теме Реферат "Содержание и значение математической символики", а также курсовые работы. Присылайте их нам, помогите в учебе другим людям.

Скачайте и откройте один из архивов. После этого вам будет доступен для скачивания файл: Скачать реферат, курсовой Реферат Содержание и значение математической символики бесплатно . Если файл не скачивается, воспользуйтесь дополнительной ссылкой и распакуйте следующий архив.
	Скачать реферат, курсовой Реферат Содержание и значение математической символики бесплатно
	Зеркало: Скачать реферат, курсовой Реферат Содержание и значение математической символики бесплатно
	Зеркало 2: Скачать реферат, курсовой Реферат Содержание и значение математической символики бесплатно
	Файл: Скачать реферат, курсовой Реферат Содержание и значение математической символики бесплатно - был проверен антивирусом Kaspersky Antivirus . Вирусов не обнаружено!